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有趣的数学
2009-03-25 10:35   点击次数:415

 

 

教学目标

1介绍数学史上几个著名的定理及研究成果。

2 对数学中几个浅显而又值得研究的问题如:一笔画问题进行初步的介绍并讨论。由此来开阔学生的视野,激发学生学生学习数学的兴趣,培养学生的探究意识和精神,发现学习数学的意义和价值。

教学过程

导入新课

   数学是科学的大门和钥匙——Rogen Bacon

   所以这就是数学:它赋予自己的发现以生命;它令思维活跃,精神升华;它烛照我们的内心,消除了我们与生俱有的蒙昧与无知——Proclus

 

数学对人类文明作出的巨大贡献

1万有引力定律.基于哥白尼的日心说和开普勒行星运动的三大定律,牛顿发现了万有引力定律。这是人类对宇宙认识的一次伟大革命。

2相对论.爱因斯坦的相对论是宇宙观的另一次伟大革命,其核心内容是时空观的改变。爱因斯坦的时空观认为时间和空间是相互联系的,四维空间的洛仑兹变换是这种数学模型的表现形式。

3海王星的发现.这个太阳系的最远的行星之一,是在1846年在数学计算的基础上发现的。

.哥德巴赫猜想

  1742年,德国数学家哥德巴赫(Christian Goldbach,1690-1764)在和他的好朋友大数学家欧拉的几次通信中,提出了关于正整数和素数之间关系的两个推测,用现在确切的话来说,就是:

A)每一个不小于6的偶数都是两个奇素数之和;

B)每一个不小于9的奇数都是三个奇素数之和。

这就是著名的哥德巴赫猜想。我们把猜想(A)称为"关于偶数的哥德巴赫猜想”,把猜想(B)称为“关于奇数的哥德巴赫猜想”。由于,所以,从猜想(A)的正确性立即推出猜想(B)的正确性。

         

     

 

 

 

殆素数指素因数个数不超过某一常数的自然数。今引入下面两个命题:

C)每一个充分大的偶数都是素因数个数不超过9的两个素数之和(99);

D)每一个充分大的偶数都可以表示为一个素数与一个不超过两个素数的乘积之和

 1+2 陈景润(1966年)

. 费马大定理

   费马作为数学家而著名,有两件事使人惊奇。第一,他是法学家,一生都在做法官和议员,数学只是他的业余爱好。第二,他生前从来没有发表过一篇作品。他的著作是在他死后他的儿子萨缪尔把他的文章,信件,以及对丢番图《算术》一书的批注等整理后发表的。

   费马在读《算术》时,在有不定方程那页的边上,写出了具有历史意义的一段文字:

   “但一个立方数不能分拆为两个立方数,一个四次方数不能分拆为两个四次方数。一般说来,除平方之外,任何次幂都不能分拆为两个同次幂。我发现了一个真正奇妙的证明,但书上的空白太小,写不下。”

费马已声称证明了:不存在正整数使

1995年,英国数学家维尔斯108页的论文《模曲线与费马大定理》在《数学年刊》上发表。

.斐波那契级数 

如果每对兔子每月能繁殖一对子兔,而子兔在出生后第二个月就有生殖能力,第三个月就生产一对兔子,以后每个月生产一对。假定每对兔子都是一雌一雄,试问兔子一年能繁殖多少对兔子?

112358132134,…

 

斐波那契数是大自然一个基本模式,它出现在许多场合,如花瓣中几乎所有的花瓣数都是斐波那契数。例如百合花的花瓣有3瓣;桃花和梅花有5瓣花;万寿菊的花有13瓣。

. 一笔画与邮递路线

   一笔画和邮递路线问题来自拓扑学,它是一个很有实用价值的问题。问题是这样提出的:

   一个邮递员送信,每次都要走遍他所负责的投递范围的每一条街道,完成任务后回到邮局。问,他沿怎样的路线走,所走的路程最短?

1 如图1的街道,找出最短的邮递路线,假定邮局位于A 点:

1

2

2 18世纪的哥尼斯堡城是现在俄罗斯的加里宁格勒市。这座城市建立在普雷格尔河畔,有4块分开的土地构成,中间有七座桥相连,如图2所示。当时那里的居民热衷于一个难题:一个散步者怎样才能一次走遍七座桥,每座桥只走过一次,最后回到出发点?这个问题看起来不难,谁都愿意试一试,但是谁也找不出答案。

问题抽象为ABCD四点有七条连线,哥尼斯堡七桥问题就变成了一个一笔画问题:能不能一笔画出这个图形,并且能最后返回起点?

欧拉的研究成果:一笔画是连通的,而且奇数顶点的个数是02

 

练习: 请找出最短路线。

             

五.悖论

“悖论”这个词的含义比较丰富,它包括一切与人的直觉和日常经验相矛盾的结论。悖论有三种主要形式:

(1)一种论断看起来好像是错了,但实际上却是对的。这是一种似非而是的论断(佯谬)。

(2)一种论断看起来好像是对了,但实际上却是错的。这是一种似是而非的论断。

(3)导致逻辑上自相矛盾的论断。

    悖论具有重要的哲学意义和数学意义。从古希腊的芝诺提出的悖论开始,一直到罗素的关于集合论的悖论,都对数学理论的发展起了巨大的推动作用。

1 选举悖论:假定张李三人同时竞选学生会主席。民意测验表明,两两比较,选举人中有2/3愿意选张不愿选王,有2/3愿意选王不愿选李。问:关于张和李我们能得出什么结论呢?是不是愿意选张而不愿选李的人多呢?

 

1

2

3

1/3

1/3

1/3

 

上表表明:多数人选张优于王,多数人选王优于李,多数人选李优于张。

结论:十全十美的民主选举是不可能实现的,即不存在公平合理的选举系统。天下无公。这是由阿洛发现,并因此获得了1972年的诺贝尔经济学奖。

2 罗素的悖论

某村的一个理发师宣称,他给所有不给自己刮脸的人刮脸。请问理发师是否给自己刮脸呢?如果他给自己刮脸,那他就违背了自己的原则;如果他不给自己刮脸,那他就应该为自己刮脸。

结语:今天数学水平的高低,决定了明天科学技术的发展。

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